מתמטיקטוק

אלגברה ושאלות קצרות

סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 198 שאלות תרגול באתר

משוואות ואי־שוויונים, פרבולות, ערך מוחלט וישרים. רוב השאלות הקצרות בבגרות נשענות על הכלים האלה.

לתרגל אלגברה ושאלות קצרות עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה

משוואה ריבועית

פתרון ax²+bx+c=0: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a.
הדיסקרימיננטה Δ = b²−4ac: אם Δ>0 יש שני פתרונות, אם Δ=0 פתרון אחד, ואם Δ<0 אין פתרון.
נוסחאות וייטה: x₁+x₂ = −b/a ו־x₁·x₂ = c/a. שימושי כשמבקשים סכום או מכפלה של שורשים בלי למצוא אותם.

פרבולה ואי־שוויון ריבועי

קודקוד הפרבולה y=ax²+bx+c נמצא ב־x = −b/2a.
כש־a>0 הפרבולה "מחייכת": שלילית בין השורשים וחיובית מחוץ להם. כש־a<0 ההפך.
כדי לפתור אי־שוויון ריבועי: מוצאים שורשים, מסמנים על ציר, ובודקים סימן בכל קטע.

ערך מוחלט

|x−a| < r שקול ל־a−r < x < a+r: המרחק של x מ־a קטן מ־r.
|x−a| > r שקול ל־x < a−r או x > a+r.

ישרים

שיפוע בין שתי נקודות: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). משוואת ישר: y−y₁ = m(x−x₁).
ישרים מקבילים: שיפועים שווים. ישרים מאונכים: m₁·m₂ = −1.

טעויות נפוצות

כשמכפילים או מחלקים אי־שוויון במספר שלילי, הופכים את כיוון הסימן.
חלוקה בביטוי שמכיל x יכולה למחוק פתרון (למשל x²=3x נותן גם x=0).
במשוואה עם שורש, העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרון שגוי. תמיד בודקים בהצבה.

שאלות לדוגמה

שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.

שאלה 1

הפרבולה y=a(x+2)²−1 מסומנת בציור, עם הקודקוד והנקודה (−1,−3). מהו a?

2
−2
3
−1

לתשובה ולהסבר

התשובה: −2 (אפשרות 2)

מציבים את הנקודה: −3 = a·(−1+2)²−1.
−2 = a·1.
a = −2.

שאלה 2

כמה נקודות חיתוך יש בין y=x²+1 לבין y=0?

2
1
3
0

לתשובה ולהסבר

התשובה: 0 (אפשרות 4)

משווים: מקבלים משוואה ריבועית.
הדיסקרימיננטה היא −4.
שלילית: אין חיתוך. הציור מאשר.

שאלה 3

בציור הגרפים של y=−2x+3 ושל y=x−3. מהו הפתרון של המערכת?

(2,−1)
(−1,2)
(−2,−1)
(2,1)

לתשובה ולהסבר

התשובה: (2,−1) (אפשרות 1)

משווים: −2x+3 = x−3.
מקבלים x=2, ומציבים: y=−1.
זו נקודת החיתוך של הישרים בציור.

שאלה 4

לפניכם הפרבולה y=(x+5)(x+1). מהי משוואת ציר הסימטריה שלה?

x=−6
x=−3
x=5
x=2

לתשובה ולהסבר

התשובה: x=−3 (אפשרות 2)

ציר הסימטריה עובר באמצע בין שני השורשים.
x = (−5−1)/2 = −3.
אותו x הוא גם ה־x של הקודקוד.

שאלה 5

בציור גרף הפונקציה f עבור x≥0. ידוע ש־f אי־זוגית ומוגדרת לכל x. מהו f(-1)?

0
אי אפשר לדעת
−3
3

לתשובה ולהסבר

התשובה: −3 (אפשרות 3)

פונקציה אי־זוגית: f(−x) = −f(x). הגרף סימטרי סביב הראשית.
מהציור f(1) = 3.
לכן f(-1) = −3.

לעוד שאלות באלגברה ושאלות קצרות

הנושא הבא: סדרות