דף נוסחאות: מתמטיקה 5 יחידות

אלגברה ושאלות קצרות

משוואה ריבועית

• פתרון ax²+bx+c=0: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a.
• הדיסקרימיננטה Δ = b²−4ac: אם Δ>0 יש שני פתרונות, אם Δ=0 פתרון אחד, ואם Δ<0 אין פתרון.
• נוסחאות וייטה: x₁+x₂ = −b/a ו־x₁·x₂ = c/a. שימושי כשמבקשים סכום או מכפלה של שורשים בלי למצוא אותם.

פרבולה ואי־שוויון ריבועי

• קודקוד הפרבולה y=ax²+bx+c נמצא ב־x = −b/2a.
• כש־a>0 הפרבולה "מחייכת": שלילית בין השורשים וחיובית מחוץ להם. כש־a<0 ההפך.
• כדי לפתור אי־שוויון ריבועי: מוצאים שורשים, מסמנים על ציר, ובודקים סימן בכל קטע.

ערך מוחלט

• |x−a| < r שקול ל־a−r < x < a+r: המרחק של x מ־a קטן מ־r.
• |x−a| > r שקול ל־x < a−r או x > a+r.

ישרים

• שיפוע בין שתי נקודות: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). משוואת ישר: y−y₁ = m(x−x₁).
• ישרים מקבילים: שיפועים שווים. ישרים מאונכים: m₁·m₂ = −1.

סדרות

סדרה חשבונית

• איבר כללי: aₙ = a₁ + (n−1)d.
• סכום: Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n(2a₁+(n−1)d)/2.
• שלושה איברים עוקבים a, b, c בסדרה חשבונית אם ורק אם 2b = a+c.
• מ־aₘ ל־aₖ יש k−m הפרשים: aₖ − aₘ = (k−m)d.

סדרה הנדסית

• איבר כללי: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
• סכום (q≠1): Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1).
• סכום אינסופי, רק כש־|q|<1: S = a₁/(1−q).
• שלושה איברים חיוביים עוקבים a, b, c בסדרה הנדסית אם ורק אם b² = ac.
• האיברים במקומות האי־זוגיים (או הזוגיים) יוצרים סדרה הנדסית עם מנה q².

כלל נסיגה

• סדרה כמו aₙ₊₁ = 2aₙ − 3 מגדירה כל איבר לפי הקודם. כותבים כמה איברים ראשונים ומחפשים תבנית.
• כדי להראות שסדרה חשבונית: מראים ש־aₙ₊₁ − aₙ קבוע. כדי להראות שהנדסית: ש־aₙ₊₁ / aₙ קבוע.

אינדוקציה

שלושת השלבים

• בסיס: בודקים שהטענה נכונה עבור n=1 (או הערך הראשון שבשאלה).
• הנחה: מניחים שהטענה נכונה עבור n=k.
• צעד: מוכיחים עבור n=k+1, תוך שימוש בהנחה.

סוגי שאלות נפוצים

• סכום: S(k+1) = S(k) + aₖ₊₁, כאשר aₖ₊₁ הוא האיבר שנוסף. מציבים את ההנחה במקום S(k) ומפשטים לצורה הדרושה.
• התחלקות: כותבים את הביטוי עבור k+1 כצירוף של הביטוי עבור k ועוד משהו שמתחלק בבירור.
• אי־שוויון: מתחילים מצד אחד של n=k+1, משתמשים בהנחה, ומראים שהתוצאה עדיין גדולה (או קטנה) מהדרוש.

הסתברות

כללים בסיסיים

• משלים: P(Ā) = 1 − P(A).
• איחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
• מאורעות זרים: P(A∩B) = 0. מאורעות בלתי תלויים: P(A∩B) = P(A)·P(B).

הסתברות מותנית

• P(A|B) = P(A∩B) / P(B): ההסתברות ל־A כשידוע ש־B קרה.
• בעץ: כופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים שמובילים לאותה תוצאה (הסתברות שלמה).
• כשמבקשים "בהינתן שהתוצאה השנייה הייתה..." מחלקים את הענף המתאים בסך כל הענפים שמובילים לתוצאה הזו.

התפלגות בינומית

• n ניסויים בלתי תלויים, הצלחה בהסתברות p בכל אחד: P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ.
• C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) הוא מספר הדרכים לבחור באילו k ניסויים הייתה הצלחה.
• "לפחות אחת" מחשבים דרך המשלים: 1 − (1−p)ⁿ.

גאומטריה

זוויות במעגל

• זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת.
• זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
• זווית היקפית שנשענת על קוטר היא 90°.
• במרובע חסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°.
• הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית שנשענת על המיתר מהצד השני.

משיקים ומיתרים

• משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
• שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.
• האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו. אם אורך המיתר 2a והמרחק שלו מהמרכז d, אז a² + d² = R².
• חזקת נקודה: PA·PB = PC·PD לשני חותכים, ו־PT² = PA·PB למשיק וחותך.

דמיון

• משולשים דומים אם יש להם שתי זוויות שוות (ז.ז.).
• יחס הדמיון k: יחס הצלעות הוא k, יחס ההיקפים k, ויחס השטחים k².
• ישר שמקביל לצלע במשולש יוצר משולש דומה. קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
• חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות: AB/AC = BD/DC.

משולש ישר זווית

• פיתגורס: a² + b² = c².
• התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
• הגובה ליתר: h² = p·q, כאשר p ו־q הם קטעי היתר.

טריגונומטריה

במשולש

• משפט הסינוסים: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R, כאשר R רדיוס המעגל החוסם.
• משפט הקוסינוסים: c² = a² + b² − 2ab·cosγ.
• שטח משולש: S = ½·a·b·sinγ.
• במשולש ישר זווית: סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר, וטנגנס הוא הניצב שמול חלקי הניצב שליד.

ערכים וזהויות

• sin30° = ½, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2. ובאותו סדר cos60° = ½, cos45° = √2/2, cos30° = √3/2.
• sin²x + cos²x = 1, tanx = sinx/cosx.
• sin2x = 2sinx·cosx, cos2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x.
• sin(180°−x) = sinx, cos(180°−x) = −cosx.

משוואות

• sinx = a: x = α + 360°k או x = 180° − α + 360°k.
• cosx = a: x = ±α + 360°k.
• tanx = a: x = α + 180°k.
• בתחום מוגבל מציבים ערכים של k ובודקים אילו פתרונות נכנסים.

חדו״א פולינומים

נגזרות

• (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (c)′ = 0, (c·f)′ = c·f′.
• מכפלה: (f·g)′ = f′g + fg′. מנה: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
• שרשרת: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x), למשל ((2x+1)⁵)′ = 10(2x+1)⁴.

משיק

• שיפוע המשיק בנקודה x₀ הוא f′(x₀).
• משוואת המשיק: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).
• משיק מקביל לישר: שיפועים שווים. משיק מאונך לישר עם שיפוע m: f′(x₀) = −1/m.

חקירה

• f′>0: הפונקציה עולה. f′<0: יורדת.
• נקודת קיצון: f′=0 והנגזרת מחליפה סימן. מ־+ ל־− זה מקסימום, מ־− ל־+ מינימום.
• נקודת פיתול: f″ מחליפה סימן. שם השיפוע של f מקסימלי או מינימלי מקומית.
• בבעיות קיצון: בונים פונקציה של משתנה אחד, גוזרים, משווים לאפס, ובודקים שזה באמת מקסימום או מינימום.

אינטגרלים

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (כש־n≠−1).
• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• שטח בין שני גרפים: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, כאשר f הגרף העליון ו־g התחתון. מחלקים את התחום בנקודות החיתוך.
• שטח מתחת לציר x יוצא שלילי באינטגרל, ולכן לוקחים ערך מוחלט לכל קטע בנפרד.

פונקציות רציונליות

תחום ואסימפטוטות

• תחום הגדרה: כל x שבו המכנה שונה מאפס.
• אסימפטוטה אנכית ב־x=a כשהמכנה מתאפס ב־a והמונה לא. אם שניהם מתאפסים והגורם מצטמצם, יש "חור" ולא אסימפטוטה.
• אסימפטוטה אופקית: אם מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, y=0. אם המעלות שוות, האסימפטוטה היא y שווה למקדם המוביל במונה חלקי המקדם המוביל במכנה, למשל ב־(6x²+1)/(2x²−x) היא y = 3.

נגזרת וחקירה

• נגזרת מנה: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
• המכנה v² תמיד חיובי בתחום, ולכן סימן הנגזרת נקבע לפי המונה בלבד.
• בטבלת סימנים מסמנים גם את הנקודות שמחוץ לתחום. שם הפונקציה יכולה לשנות התנהגות בלי שתהיה נקודת קיצון.

פונקציות שורש

תחום

• ביטוי מתחת לשורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי: √g(x) מוגדר כש־g(x) ≥ 0.
• אם השורש במכנה, הביטוי חייב להיות חיובי ממש.

נגזרות ואינטגרלים

• (√x)′ = 1/(2√x), ובשרשרת: (√g(x))′ = g′(x)/(2√g(x)).
• בקצה התחום, שם g(x)=0, הנגזרת לא מוגדרת. הגרף יכול להיות שם משיק אנכי.
• ∫√x dx = (2/3)x√x + C, ∫ 1/√x dx = 2√x + C.

משוואות

• מבודדים את השורש בצד אחד ומעלים בריבוע.
• כל פתרון בודקים במשוואה המקורית. העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרונות שגויים.
• השורש הריבועי תמיד אי־שלילי, ולכן √g(x) = −3 חסרת פתרון מיד.

חדו״א טריגונומטרי

נגזרות

• (sinx)′ = cosx, (cosx)′ = −sinx, (tanx)′ = 1/cos²x.
• שרשרת: (sin(ax+b))′ = a·cos(ax+b), (sin²x)′ = 2sinx·cosx = sin2x.
• הנוסחאות נכונות רק כש־x ברדיאנים: π = 180°.

אינטגרלים

• ∫sinx dx = −cosx + C, ∫cosx dx = sinx + C, ∫ 1/cos²x dx = tanx + C.
• ∫sin(ax) dx = −cos(ax)/a + C.
• ∫₀^π sinx dx = 2.

מחזור וחקירה

• המחזור של sin(ax) ושל cos(ax) הוא 2π/|a|. המחזור של tan(ax) הוא π/|a|.
• בחקירה בתחום סגור: פותרים f′=0 בתוך התחום, ובודקים את הסימן בין הפתרונות ואת הקצוות.
• ב־tanx התחום לא כולל את הנקודות שבהן cosx = 0.