גאומטריה
סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 221 שאלות תרגול באתר
משפטי מעגל, דמיון משולשים ומשולש ישר זווית.
לתרגל גאומטריה עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה
זוויות במעגל
- זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת.
- זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
- זווית היקפית שנשענת על קוטר היא 90°.
- במרובע חסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°.
- הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית שנשענת על המיתר מהצד השני.
משיקים ומיתרים
- משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
- שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים באורכם.
- האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו. אם אורך המיתר 2a והמרחק שלו מהמרכז d, אז a² + d² = R².
- חזקת נקודה: PA·PB = PC·PD לשני חותכים, ו־PT² = PA·PB למשיק וחותך.
דמיון
- משולשים דומים אם יש להם שתי זוויות שוות (ז.ז.).
- יחס הדמיון k: יחס הצלעות הוא k, יחס ההיקפים k, ויחס השטחים k².
- ישר שמקביל לצלע במשולש יוצר משולש דומה. קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
- חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות: AB/AC = BD/DC.
משולש ישר זווית
- פיתגורס: a² + b² = c².
- התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
- הגובה ליתר: h² = p·q, כאשר p ו־q הם קטעי היתר.
טעויות נפוצות
- יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, לא יחס הדמיון עצמו.
- כשמסמנים זווית היקפית, בודקים על איזו קשת היא נשענת. שתי זוויות "באותו מעגל" לא תמיד שוות.
- כשמתאימים קודקודים בין משולשים דומים, שומרים על הסדר: הצלע שמול זווית שווה מתאימה לצלע שמול הזווית השווה לה.
שאלות לדוגמה
שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.
שאלה 1
במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ו־BD:DC=11:12. מה היחס בין שטחי ABD ו־ADC?
- אי אפשר בלי הגובה
- 121:144
- 11:12
- 12:11
לתשובה ולהסבר
התשובה: 11:12 (אפשרות 3)
- לשני המשולשים אותו גובה לישר BC.
- השטחים פרופורציוניים לבסיסים BD ו־DC.
- אין צורך לחשב את הגובה עצמו.
שאלה 2
בציור שני משולשים ישרי־זווית דומים (לא בקנה מידה). מהו x?
- 12
- 10
- 19
- 14
לתשובה ולהסבר
התשובה: 14 (אפשרות 4)
- יחס הדמיון: 10/5 = 2.
- כל צלע בגדול גדולה פי 2 מהצלע המתאימה בקטן.
- x = 2·7 = 14.
שאלה 3
במשולש ABC נתון AB=AC ו־∠A=100° (לא בקנה מידה). מהי ∠B?
- 100°
- 50°
- 40°
- 80°
לתשובה ולהסבר
התשובה: 40° (אפשרות 3)
- במשולש שווה־שוקיים זוויות הבסיס שוות.
- סכום הזוויות הוא 180°, ולכן 2·∠B = 180°−100° = 80°.
- ∠B = 40°.
שאלה 4
במשולש ABC הקטע DE מקביל ל־BC, ו־AD:DB=1:3. מה היחס בין שטח ADE לשטח ABC?
- 1/16
- 1/9
- 1/3
- 1/4
לתשובה ולהסבר
התשובה: 1/16 (אפשרות 1)
- DE∥BC ולכן ADE דומה ל־ABC ביחס AD:AB = 1:4.
- יחס שטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
- (1/4)² = 1/16.
שאלה 5
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 25 יש מיתר AB שמרחקו מהמרכז 7 (לא בקנה מידה). מהו אורך המיתר?
- 32
- 24
- 48
- 14
לתשובה ולהסבר
התשובה: 48 (אפשרות 3)
- האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר.
- חצי מיתר = √(25²−7²) = √576 = 24.
- המיתר כולו: 2·24 = 48.
לעוד שאלות בגאומטריה
הנושא הבא: טריגונומטריה
מתמטיקטוק