שאלה 1
כמה פתרונות יש למשוואה sin x = 0 בתחום 0°≤x≤360°?
- 3
- 1
- 4
- 2
לתשובה ולהסבר
התשובה: 3 (אפשרות 1)
- ספרו כמה פעמים הישר האופקי חותך את הגרף בתחום (בציור).
- האפסים נמצאים בכל 180°, כולל קצוות התחום.
- סך הכל 3.
מתמטיקטוקטריגונומטריה
סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 145 שאלות תרגול באתר
חישובים במשולש כללי, זהויות ומשוואות טריגונומטריות.
לתרגל טריגונומטריה עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה
במשולש
- משפט הסינוסים: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R, כאשר R רדיוס המעגל החוסם.
- משפט הקוסינוסים: c² = a² + b² − 2ab·cosγ.
- שטח משולש: S = ½·a·b·sinγ.
- במשולש ישר זווית: סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר, וטנגנס הוא הניצב שמול חלקי הניצב שליד.
ערכים וזהויות
- sin30° = ½, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2. ובאותו סדר cos60° = ½, cos45° = √2/2, cos30° = √3/2.
- sin²x + cos²x = 1, tanx = sinx/cosx.
- sin2x = 2sinx·cosx, cos2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x.
- sin(180°−x) = sinx, cos(180°−x) = −cosx.
משוואות
- sinx = a: x = α + 360°k או x = 180° − α + 360°k.
- cosx = a: x = ±α + 360°k.
- tanx = a: x = α + 180°k.
- בתחום מוגבל מציבים ערכים של k ובודקים אילו פתרונות נכנסים.
טעויות נפוצות
- במשפט הסינוסים, כשמחפשים זווית, יכולים להיות שני פתרונות: α ו־180°−α. בודקים ששתיהן אפשריות במשולש.
- סינוס חיובי ברביע הראשון והשני, קוסינוס חיובי ברביע הראשון והרביעי.
- במשוואה כמו sin2x = ½ פותרים קודם עבור 2x, ורק אז מחלקים ב־2. כך מקבלים פי שניים פתרונות בתחום.
שאלות לדוגמה
שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.
שאלה 2
הזווית α נמצאת ברביע השני (הנקודה שבציור), ו־sin α = 7/25. מהו tan α?
- 7/24
- −7/24
- −24/7
- 7/25
לתשובה ולהסבר
התשובה: −7/24 (אפשרות 2)
- משתמשים ב־sin²α+cos²α=1 כדי לקבל את גודל הערך החסר.
- הגודל הוא 24/25; הסימנים נקבעים לפי הרביע: cos שלילי, sin חיובי.
- tan α = −7/24.
שאלה 3
במשולש ABC נתון AB=7, AC=10 ו־∠A=150° (לא בקנה מידה). מהו שטח המשולש?
- 35/4
- 35
- 35/2
- 70
לתשובה ולהסבר
התשובה: 35/2 (אפשרות 3)
- שטח = ½ · צלע · צלע · סינוס הזווית ביניהן.
- sin 150° = 1/2.
- שטח = ½·10·7·1/2 = 35/2.
שאלה 4
במשולש ABC נתון CB=7, CA=8 ו־∠C=120° (לא בקנה מידה). מהו אורך AB?
- √113
- √57
- 15
- 13
לתשובה ולהסבר
התשובה: 13 (אפשרות 4)
- AB² = 7² + 8² − 2·7·8·cos 120°.
- cos 120° = −1/2, ולכן AB² = 49+64+56 = 169.
- AB = 13.
שאלה 5
במשולש ישר־זווית ABC (∠C=90°) נתונות הצלעות שבציור. מהו cos α?
- 5/12
- 5/13
- 12/5
- 12/13
לתשובה ולהסבר
התשובה: 5/13 (אפשרות 2)
- היתר הוא 13 והניצב הוא 12, ולכן הניצב השני הוא 5.
- cos α = הניצב ליד הזווית ÷ היתר.
- cos α = 5/13.
הנושא הבא: חדו״א פולינומים