חדו״א פולינומים
סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 399 שאלות תרגול באתר
נגזרות, משיקים, חקירת פונקציה, בעיות קיצון ואינטגרלים.
לתרגל חדו״א פולינומים עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה
נגזרות
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (c)′ = 0, (c·f)′ = c·f′.
- מכפלה: (f·g)′ = f′g + fg′. מנה: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
- שרשרת: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x), למשל ((2x+1)⁵)′ = 10(2x+1)⁴.
משיק
- שיפוע המשיק בנקודה x₀ הוא f′(x₀).
- משוואת המשיק: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).
- משיק מקביל לישר: שיפועים שווים. משיק מאונך לישר עם שיפוע m: f′(x₀) = −1/m.
חקירה
- f′>0: הפונקציה עולה. f′<0: יורדת.
- נקודת קיצון: f′=0 והנגזרת מחליפה סימן. מ־+ ל־− זה מקסימום, מ־− ל־+ מינימום.
- נקודת פיתול: f″ מחליפה סימן. שם השיפוע של f מקסימלי או מינימלי מקומית.
- בבעיות קיצון: בונים פונקציה של משתנה אחד, גוזרים, משווים לאפס, ובודקים שזה באמת מקסימום או מינימום.
אינטגרלים
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (כש־n≠−1).
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
- שטח בין שני גרפים: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, כאשר f הגרף העליון ו־g התחתון. מחלקים את התחום בנקודות החיתוך.
- שטח מתחת לציר x יוצא שלילי באינטגרל, ולכן לוקחים ערך מוחלט לכל קטע בנפרד.
טעויות נפוצות
- f′(x₀) = 0 לא מבטיח קיצון. ב־f(x) = x³ הנגזרת מתאפסת ב־0 ואין שם קיצון.
- כשמחשבים שטח, לא מחברים אינטגרל חיובי ושלילי. כל קטע לחוד, בערך מוחלט.
- בבעיית קיצון עם תחום סגור, בודקים גם את הקצוות.
שאלות לדוגמה
שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.
שאלה 1
בציור גרף הנגזרת f′ של פונקציה f, שחותך את ציר x ב־0 וב־4. באיזו נקודה יש ל־f נקודת פיתול?
- x=3
- x=4
- x=2
- x=0
לתשובה ולהסבר
התשובה: x=2 (אפשרות 3)
- נקודת פיתול של f היא נקודה שבה f′ מגיעה לקיצון (f″ מחליפה סימן).
- f′ היא פרבולה, וקיצון שלה הוא בקודקוד, באמצע בין 0 ל־4.
- x=2.
שאלה 2
בציור השטח המוגבל בין הפרבולה y=x² לבין הישר y=3x. מהו השטח?
- 9/2
- 15/2
- 9
- 27/2
לתשובה ולהסבר
התשובה: 9/2 (אפשרות 1)
- נקודות החיתוך: x²=3x נותן x=0 ו־x=3.
- השטח הוא האינטגרל של (3x−x²) מ־0 עד 3.
- 3·3²/2 − 3³/3 = 9/2.
שאלה 3
בציור גרף הפונקציה f (קטעים ישרים). מגדירים h(a)=∫ מ־−4 עד a של f(x)dx. מהו h(2)?
- 4
- 6
- 2
- 5
לתשובה ולהסבר
התשובה: 4 (אפשרות 1)
- האינטגרל הוא שטח עם סימן: מעל ציר x חיובי, מתחתיו שלילי.
- מחלקים את האזור המסומן למשולשים ולמלבנים, ומחשבים שטחים מהמשבצות.
- סכום השטחים עם הסימן נותן h(2)=4.
שאלה 4
בציור גרף הפונקציה f, ולה קיצון מקומי ב־x=−2 וב־x=1. באילו תחומים f יורדת?
- x>1
- −2<x<1
- x<−2 או x>1
- x<−2
לתשובה ולהסבר
התשובה: x<−2 או x>1 (אפשרות 3)
- f יורדת בתחום שבו הגרף יורד משמאל לימין.
- בין נקודות הקיצון הגרף עולה, ומחוץ להן הוא יורד.
- לכן f יורדת ב־x<−2 או x>1.
שאלה 5
נתון f′(x)=(x−1)²(x+1). איזו טענה על f נכונה בהכרח?
- מינימום בשתי הנקודות
- מקסימום ב־1
- מינימום ב־-1; אין קיצון ב־1
- אין נקודות קיצון
לתשובה ולהסבר
התשובה: מינימום ב־-1; אין קיצון ב־1 (אפשרות 3)
- הגורם הריבועי אינו מחליף סימן.
- סימן הנגזרת נקבע על ידי x+1, למעט נקודות האפס.
- בנקודה השלילית עוברים מירידה לעלייה; בחיובית אין החלפת סימן.
לעוד שאלות בחדו״א פולינומים
הנושא הבא: פונקציות רציונליות
מתמטיקטוק