פונקציות שורש
סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 136 שאלות תרגול באתר
תחום הגדרה, נגזרת של שורש, משוואות עם שורש וחקירה.
לתרגל פונקציות שורש עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה
תחום
- ביטוי מתחת לשורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי: √g(x) מוגדר כש־g(x) ≥ 0.
- אם השורש במכנה, הביטוי חייב להיות חיובי ממש.
נגזרות ואינטגרלים
- (√x)′ = 1/(2√x), ובשרשרת: (√g(x))′ = g′(x)/(2√g(x)).
- בקצה התחום, שם g(x)=0, הנגזרת לא מוגדרת. הגרף יכול להיות שם משיק אנכי.
- ∫√x dx = (2/3)x√x + C, ∫ 1/√x dx = 2√x + C.
משוואות
- מבודדים את השורש בצד אחד ומעלים בריבוע.
- כל פתרון בודקים במשוואה המקורית. העלאה בריבוע יכולה להוסיף פתרונות שגויים.
- השורש הריבועי תמיד אי־שלילי, ולכן √g(x) = −3 חסרת פתרון מיד.
טעויות נפוצות
- נקודת קצה של התחום יכולה להיות נקודת קיצון גם כשהנגזרת לא מתאפסת בה.
- √(x²) = |x|, לא x.
- בגזירת √(g) לא שוכחים להכפיל ב־g′.
שאלות לדוגמה
שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.
שאלה 1
נתונה g(x)=√((x−5)²). מה קורה בנקודה x=5?
- מינימום ללא נגזרת
- מינימום עם נגזרת אפס
- אין קיצון כי השורש והריבוע מצטמצמים
- הפונקציה אינה מוגדרת
לתשובה ולהסבר
התשובה: מינימום ללא נגזרת (אפשרות 1)
- שורש של ריבוע הוא ערך מוחלט.
- משמאל השיפוע −1 ומימין +1.
- יש שפיץ בנקודת המינימום, ולכן הנגזרת אינה קיימת.
שאלה 2
הגרף שבציור הוא של f(x)=√(2x−4). מהו תחום ההגדרה?
- x≥−2
- x≥2
- כל x
- x≤2
לתשובה ולהסבר
התשובה: x≥2 (אפשרות 2)
- ביטוי בתוך שורש חייב להיות אי־שלילי.
- 2x−4 ≥ 0 נותן x≥2.
- בציור הגרף מתחיל בדיוק בנקודה הזו.
שאלה 3
בציור הגרפים y=√(x+1) ו־y=x−1. מהו הפתרון של המשוואה √(x+1) = x−1?
- x=0
- אין פתרון
- x=3 וגם x=0
- x=3
לתשובה ולהסבר
התשובה: x=3 (אפשרות 4)
- מעלים בריבוע: x+1 = (x−1)², ומקבלים x=0 או x=3.
- בודקים במשוואה המקורית: x=0 נותן אגף ימין שלילי (−1), ושורש לא יכול להיות שלילי.
- רק x=3 מתאים. בגרף יש נקודת חיתוך אחת.
שאלה 4
f(x)=√((x+1)(x−3)) ו־g(x)=√(x+1)·√(x−3). האם f ו־g הן אותה פונקציה?
- כן, אבל רק אם x>0
- לא: ל־f יש גם את x≤−1, ל־g לא
- לא: ל־g תחום גדול יותר
- כן: אותה נוסחה בדיוק
לתשובה ולהסבר
התשובה: לא: ל־f יש גם את x≤−1, ל־g לא (אפשרות 2)
- f מוגדרת כשהמכפלה אי־שלילית: x≤−1 או x≥3 (בציור).
- g דורשת שכל שורש יהיה מוגדר בנפרד: x≥3 בלבד.
- שתי פונקציות שוות רק אם גם התחומים שווים, ולכן אלה פונקציות שונות.
שאלה 5
נתון f(x)=√(x²−4). האם אפשר להסיק ש־f יורדת בכל תחום ההגדרה כי היא יורדת עבור x<−2?
- לא, היא קבועה בענף הימני
- כן
- אין ענף ימני
- לא, היא עולה בענף הימני
לתשובה ולהסבר
התשובה: לא, היא עולה בענף הימני (אפשרות 4)
- תחום ההגדרה מפוצל לשני ענפים.
- הנגזרת x/√(x²−4) שלילית בשמאל וחיובית בימין.
לעוד שאלות בפונקציות שורש
הנושא הבא: חדו״א טריגונומטרי
מתמטיקטוק