מתמטיקטוק

אינדוקציה

סיכום לבגרות במתמטיקה 5 יחידות · 119 שאלות תרגול באתר

הוכחה שטענה נכונה לכל n טבעי: מראים שהיא נכונה בהתחלה, ושכל מקרה גורר את הבא.

לתרגל אינדוקציה עכשיו בלי הרשמה, ישר לשאלה

שלושת השלבים

סוגי שאלות נפוצים

טעויות נפוצות

שאלות לדוגמה

שאלות מהמאגר של מתמטיקטוק. פותרים בראש, ופותחים את ההסבר כשרוצים לבדוק.

שאלה 1

טענה P(n) נבדקה עבור n=11. הוכח רק ש־P(k) גוררת P(k+2). מה הוכח?

123456→→
  1. לא הוכח דבר
  2. לכל n גדול או שווה לערך ההתחלתי
  3. לכל n טבעי
  4. רק עבור 11, 13, 15, …
לתשובה ולהסבר

התשובה: רק עבור 11, 13, 15, … (אפשרות 4)

  1. צעד של 2 משמר זוגיות.
  2. מתחילים בבסיס הנתון ומגיעים רק למספרים באותה זוגיות.
  3. כדי לכסות את שני המסלולים צריך בסיס נוסף מהזוגיות האחרת.

שאלה 2

מוכיחים באינדוקציה ש־1+2+4+…+2n−1 = 2n−1. בצעד המעבר מ־k ל־k+1 מוסיפים לשני אגפי ההנחה איבר אחד. איזה?

kk+1אם נופל k, נופל גם k+1
  1. 2k−1+1
  2. 2k
  3. 2k+1−1
  4. 2k−1
לתשובה ולהסבר

התשובה: 2k (אפשרות 2)

  1. ההנחה היא שהסכום עד k שווה לנוסחה ב־k.
  2. כדי לקבל את הסכום עד k+1 מוסיפים את האיבר הבא בסכום.
  3. האיבר הזה מתקבל מהאיבר הכללי כש־n=k+1: 2k.

שאלה 3

בציור כל שכבה בצורת ר מוסיפה את המספר האי־זוגי הבא. מהו 1+3+5+…+13?

  1. 49
  2. 62
  3. 56
  4. 64
לתשובה ולהסבר

התשובה: 49 (אפשרות 1)

  1. יש 7 מחוברים (המספרים האי־זוגיים עד 13).
  2. הציור מראה שסכום k האי־זוגיים הראשונים הוא ריבוע k×k.
  3. 7² = 49. את הטענה הכללית מוכיחים באינדוקציה: מוסיפים 2k+1 ומקבלים (k+1)².

שאלה 4

תלמיד הניח P(k+1), פיתח אותה וקיבל P(k). האם זה מוכיח צעד אינדוקציה רגיל?

123456→→→→→?
  1. כן אם הבסיס נכון
  2. לא, אלא אם כל המעברים הפיכים ומנמקים זאת
  3. כן, תמיד
  4. לא, גם אם המעברים הפיכים
לתשובה ולהסבר

התשובה: לא, אלא אם כל המעברים הפיכים ומנמקים זאת (אפשרות 2)

  1. הכיוון הנדרש הוא מ־P(k) אל P(k+1).
  2. הכיוון ההפוך בלבד אינו מספיק; שקילות כן יכולה להספיק.

לעוד שאלות באינדוקציה

הנושא הבא: הסתברות